Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

conductie, straling, convectie

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

Oplossing:

-\tau\dot{T} = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}

(5)

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(6)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(7)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Laat zien dat bovenstaande geldt door eerst $(T_0+\Delta T)^4$ uit te schrijven, te substitueren en dan te bedenken dat $\Delta T$ klein is en $\Delta T^2$ dus nog kleiner.

(T_0+\Delta T)^4 = T_0^4 + 4T_0^3\Delta T + 6T_0^2\Delta T^2 + 4T_0\Delta T^3 + \Delta T^4 \\ \Delta T^2 << \Delta T < 1 \\ (T_0+\Delta T)^4 \approx T_0^4 + 4T_0^3\Delta T \\ \dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(8)

Voor het geval van kleine temperatuurverschillen geldt de versimpeling maar in het geval van een $\Delta T$ van rond de 20 graden is het opeens wel een groot verschil want dan zou de $\Delta T^4 = 160000$

Methode en materialen¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

$Opp = Buiten + binnen + cirkelrand = 2\pi r_{buiten} h + 2\pi r_{binnen} h + 2\pi (r_{buiten}-r_{binnen}) = 2\pi*0.025*0.051 + 2\pi*0.020*0.051 + 2\pi*0.005 \approx 0.04583 m^2$
Warmtecapaciteit hebben we gehoord dat we messing buizen hadden, dus c = 3,8e2 J/(kg*K)
T_omg is 20 graden celcius

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Vanwege de invloed van de stroming van de lucht, aangezien warme lucht opstijgt

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg) 
 
def Fit_func(t, A, tau):
    return (A*np.e**(-1*(t/tau))) + 20
buitenoppervlak = 0.00801 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 380 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K, hier dus messing

times = np.linspace(0, 300, 55) #s
times2 = np.array([0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210, 225, 240, 255, 270, 285]) #s
times3 = np.linspace(0, 200, 38) #s

temps = np.array([48.0,47.5,47.2,44.3,43.5,43.1,42.2,41.7,41.5,41.3,41.2,40.8,40.3,40.1,39.9,39.7,39.3,39.2,39.0,39.0,38.7,
                  38.4,38.0,37.7,37.4,37.3,37.0,37.0,36.7,36.2,35.8,35.5,35.3,35.3,35.0,34.8,34.6,34.5,34.4,34.2,34.0,34.0,33.9,33.7,33.5,
                  33.4,33.1,33.1,33.0,32.9,32.8,32.5,32.3,32.2,32.1])+273.15 #K
temps2 = np.array([52,51.0,50.9,49.0,46.9,46.2, 44.7,43.2,42.5,40.8,39.7,38.6,37.6,37.1,36.4,35.9,35.2,34.6,33.8,33.4])+273.15 #K
temps3 = np.array([47,45.4,45,45,44.7,44.1,43.1,42.5,42.3,41.9,41.6,41.2,40.9,40.8,40.5,40.1,39.9,39.6,39.4,39.1,38.8,38.2,37.9,37.8,37.6,37.5,
                  37.2,37.0,36.7,36.6,36.5,36.3,36.1,35.8,35.7,35.6,35.3,35.2])+273.15 #K

val, cov = curve_fit(Fit_func, times, temps)
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, maxfev=10000, p0=[20, 300, 300])
A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, Fit_func(times, val[0], val[1]), 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()

plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (val[0] * buitenoppervlak)

print("De warmteoverdrachtscoëfficiënt is:", f"{h_exp:.3f} W/(m^2*K)") # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
print("De karakteristieke tijd is:", f"{tau_exp:.3f} seconden") # karakteristieke tijd in s

De warmteoverdrachtscoëfficiënt is: 159.544 W/(m^2*K)
De karakteristieke tijd is: 154.796 seconden

Discussie en conclusie¶

Na vergelijking met andere groepjes waren onze metingen erg onstabiel waardoor de curve_fit na veel proberen een rechte lijn bleef. We hadden bij nader inzien een betere thermometer kunnen gebruiken en ook langer kunnen doormeten om een betere grafiek te kunnen vormen. Meer datapunten is in ons geval ook niet beter, de precisie van het meetapparaat is namelijk te laag om mooie waardeverschillen te krijgen.